El Dr. Varela centró su ponencia en la aplicación de diferencias miméticas para la resolución de problemas complejos, destacando la importancia de esta metodología para obtener soluciones numéricas precisas. Para ello, introdujo conceptos clave como la malla aproximada «staggered grid», el operador laplaciano compuesto y el postprocesamiento de las aproximaciones miméticas para cumplir con los requisitos de regularidad necesarios para la estimación de errores a posteriori.

Uno de los logros más importantes de su investigación es la obtención de cotas superiores garantizadas y totalmente computables para las aproximaciones de diferencias miméticas al problema de Poisson. Esto permite estimar con precisión el error de la solución numérica, lo cual es crucial en aplicaciones donde la confiabilidad es fundamental.

Además, el Dr. Varela demostró que su marco de trabajo es aplicable a aproximaciones de orden superior, lo que abre la puerta a la obtención de soluciones aún más precisas y eficientes. Asimismo, los indicadores de error obtenidos pueden utilizarse para guiar estrategias de refinamiento adaptativo de malla (AMR), optimizando el uso de los recursos computacionales.

Para ilustrar la eficacia de su metodología, el Dr. Varela utilizó un campo de presión cuártico sintético, demostrando la precisión y confiabilidad de las estimaciones de error obtenidas.

En la última parte de su presentación, el Dr. Varela planteó tres preguntas clave que guiarán su investigación futura:

1. ¿Podemos usar reglas de cuadratura miméticas y obtener estimaciones de error «miméticas»?
2. ¿Cuál es el orden óptimo de reconstrucción de presión y flujo que mantiene el costo computacional bajo y guía con éxito el proceso AMR?
3. ¿Podemos realizar AMR curvilíneo utilizando el dominio cartesiano como espacio intermedio?

Estas preguntas representan áreas de investigación cruciales para el avance de las diferencias miméticas, buscando mejorar la precisión, optimizar el costo computacional y extender la aplicabilidad de esta metodología a geometrías complejas.

La sesión de preguntas y respuestas posterior a la presentación permitió profundizar en los aspectos más técnicos de la investigación, consolidando el coloquio como un espacio de intercambio y aprendizaje en el campo de las matemáticas aplicadas.

Los resultados presentados por el Dr. Varela tienen importantes implicaciones para la resolución de problemas de Poisson y otros problemas de ecuaciones diferenciales parciales, con aplicaciones en una amplia gama de campos de la ciencia y la ingeniería.